10.14489/vkit.2024.11.pp.003-008

DOI: 10.14489/vkit.2024.11.pp.003-008

Ганчук С. Н., Старкова А. С., Кривошеев О. В., Маврин С. В., Рыжов С. А.
ПОЛНОСТЬЮ ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО НАБОРА КРИВЫХ БЕЗЬЕ. ЧАСТЬ 1: КРИВЫЕ БЕЗЬЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
(с. 3-8)

Аннотация. Задачи гладкого сопряжения различного типа кривых – неотъемлемая часть геометрических ядер современных CAD-систем. Рассмотрена аппроксимация исходного произвольного набора кривых Безье без ограничений на их число, степени и точки касания друг друга набором кривых Безье, для которого в точках сопряжения выполняются условия полностью гладкого сопряжения, т.е. порядок непрерывности в точках сопряжения соответствует максимальной степени исходных кривых Безье. Построение аппроксимирующего набора кривых сводится к оптимизационной задаче при ограничениях в виде равенств. Эта задача решена методом множителей Лагранжа. Выполнен переход от набора полностью сопряженных кривых Безье к одной кривой Безье той же степени. В рассматриваемом случае кривые Безье представлены как частный случай B-сплайна, что позволяет без дополнительных вычислений при расчете точки кривой получать все производные. На аппроксимирующую кривую могут быть наложены дополнительные ограничения в виде неизменности начальной и конечной точек и значений производных в этих точках. Предлагаемые методы применимы для 2D- и 3D-кривых. Результаты работы имплементированы в CAD-модуль СПЖЦ «Сарус».

Ключевые слова: кривая Безье; сопряжение; параметрическая непрерывность; множители Лагранжа; геометрическое ядро; CAD-системы; СПЖЦ «Сарус».

Ganchuk S. N., Starkova A. S., Krivosheev O. V., Mavrin S. V., Ryzhov S. A.
COMPLETELY SMOOTH APPROXIMATION OF AN ARBITRARY SET OF BEZIER CURVES. PART 1: BEZIER CURVES AND PROBLEM STATEMENT
(pp. 3-8)

Abstract. Problems of smooth joining of various types of curves are an integral part of the geometric kernels of modern CAD systems. We consider the problem of approximating an initial arbitrary set of Bezier curves without restrictions on their number, degrees and points of tangency with each other by a set of Bezier curves for which the conditions of completely smooth conjugation are satisfied at the conjugation points (that is, the order of continuity at the conjugation points corresponds to the maximum degree of the original Bezier curves). The construction of an approximating set of curves is reduced to an optimization problem under constraints in the form of equalities, which is solved by the Lagrange multiplier method. The transition is made from a set of fully conjugate Bezier curves to a single Bezier curve of the same degree. In the work, Bezier curves are presented as a special case of a B-spline, which allows you to obtain all derivatives without additional calculations when calculating a point on the curve Additional restrictions can be imposed on the approximating curve in the form of invariance of the starting and ending points and the values of the derivatives at these points. The proposed methods are applicable to 2D and 3D curves.The results of the work have been implemented into the CAD module of the “Sarus” PLM.

Keywords: Bezier curve; Merging; Parametric continuity; Lagrange multipliers; Geometric kernel; CAD-systems; SPLC “Sarus”.

+ - Информация об авторах (About the Authors) Click to collapse

Рус

С. Н. Ганчук, А. С. Старкова (Российский федеральный ядерный центр – Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (РФЯЦ–ВНИИЭФ) – федеральное государственное унитарное предприятие «Государственная корпорация по атомной энергии «Росатом», Саров, Нижегородская обл., Россия)
О. В. Кривошеев, С. В. Маврин, С. А. Рыжов (РФЯЦ–ВНИИЭФ – федеральное государственное унитарное предприятие «Государственная корпорация по атомной энергии «Росатом»; Саровский физико-технический институт – филиал Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», Саров, Нижегородская обл., Россия) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

Eng

S. N. Ganchuk, A. S. Starkova (Russian Federal Nuclear Center – All-Russian Scientific Research Institute of Experimental Physics (RFNC – VNIIEPh) – Federal State Unitary Enterprise of the State Atomic Energy Corporation “Rosatom”, Sarov, Nizhniy Novgorod region, Russia)
O. V. Krivosheev, S. V. Mavrin, S. A. Ryzhov (Russian Federal Nuclear Center – All-Russian Scientific Research Institute of Experimental Physics – Federal State Unitary Enterprise of the State Atomic Energy Corporation “Rosatom”; Sarov Institute of Physics and Technology - branch of the Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education “National Research Nuclear University “MEPhI”, Sarov, Nizhniy Novgorod region, Russia) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

+ - Библиографический список (References) Click to collapse

Рус

1. Ушаков Д. М. NURBS и САПР: 30 лет вместе [Электронный ресурс]. URL: https://isicad.ru/ru/articles.php?article_num=14924 (дата обращения: 13.06.2024).
2. Piegl L., Tiller W. The NURBS book. Berlin: Springer Science & Business Media, 2012. 646 p.
3. Панчук К. Л., Мясоедова Т. М. Описание дискретно заданного плоского контура составной линией из дробнорациональных кривых Безье второго порядка // Программные системы и вычислительные методы. 2019. № 3. С. 49–60. DOI: 10.7256/2454-0714.2019.3.30637
4. Fitter H. N., Pandey A. B., Patel D. D., Mistry J. M. A review on approaches for handling Bezier curves in CAD for manufacturing // Procedia Engineering. 2014. V. 97. P. 1155–1166.
5. Hoschek J. Approximate conversion of spline curves // Computer Aided Geometric Design. 1987. V. 4, № 1-2. P. 59–66.
6. Отечественная система полного жизненного цикла «Сарус» обеспечит импортонезависимость и безо¬пасность // САПР и графика. 2023. № 12. C. 68–71.
7. Cheng M., Wang G. Approximate merging of multiple Bézier segments // Progress in Natural Science. 2008. V. 18, №. 6. P. 757–762.
8. Hu S. M., Tong R. F., Ju T., Sun, J. G. Approximate merging of a pair of Bézier curves // Computer-Aided Design. 2001. V. 33, №. 2. P. 125–136.
9. Ганчук С. Н., Кривошеев О. В., Маврин С. В., Рыжов С. А. Аппроксимация сопряжения кривых Безье с сохранением порядка гладкости и дополнительными ограничениями // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер.: Строительство и архитектура. 2024. Т. 24, № 1. С. 59–69. DOI: 10.14529/build240108

Eng

1. Ushakov D. M. NURBS and CAD: 30 years together. Retrieved from https://isicad.ru/ru/articles.php?article_num=14924 (Accessed: 13.06.2024). [in Russian language]
2. Piegl L., Tiller W. (2012). The NURBS book. Berlin: Springer Science & Business Media.
3. Panchuk K. L., Myasoedova T. M. (2019). Description of a discretely given flat contour by a composite line of fractional rational Bezier curves of the second order. Programmnye sistemy i vychislitel'nye metody, (3), 49 – 60. [in Russian language] DOI: 10.7256/2454-0714.2019.3.30637
4. Fitter H. N., Pandey A. B., Patel D. D., Mistry J. M. (2014). A review on approaches for handling Bezier curves in CAD for manufacturing. Procedia Engineering, 97, 1155–1166.
5. Hoschek J. (1987). Approximate conversion of spline curves. Computer Aided Geometric Design, 4(1-2), 59 – 66.
6. The domestic Sarus full life cycle system will ensure import independence and safety. (2023). SAPR i grafika, (12), 68 – 71. [in Russian language]
7. Cheng M., Wang G. (2008). Approximate merging of multiple Bézier segments. Progress in Natural Science, 18(6), 757 – 762.
8. Hu S. M., Tong R. F., Ju T., Sun, J. G. (2001). Approximate merging of a pair of Bézier curves. Computer-Aided Design, 33(2), 125 – 136.
9. Ganchuk S. N., Krivosheev O. V., Mavrin S. V., Ryzhov S. A. (2024). Approximation of conjugate Bezier curves preserving the order of smoothness and additional restrictions. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Stroitel'stvo i arhitektura, 24(1), 59 – 69. [in Russian language] DOI: 10.14529/build240108

+ - Заказать электронную версию статьи (Purchase digital version of a single article) Click to collapse

Рус

Статью можно приобрести в электронном виде (PDF формат).

Стоимость статьи 500 руб. (в том числе НДС 20%). После оформления заказа, в течение нескольких дней, на указанный вами e-mail придут счет и квитанция для оплаты в банке.

После поступления денег на счет издательства, вам будет выслан электронный вариант статьи.

Для заказа скопируйте doi статьи:

10.14489/vkit.2024.11.pp.003-008

и заполните форму

Отправляя форму вы даете согласие на обработку персональных данных.

Eng

This article is available in electronic format (PDF).

The cost of a single article is 500 rubles. (including VAT 20%). After you place an order within a few days, you will receive following documents to your specified e-mail: account on payment and receipt to pay in the bank.

After depositing your payment on our bank account we send you file of the article by e-mail.

To order articles please copy the article doi:

10.14489/vkit.2024.11.pp.003-008

and fill out the form