10.14489/vkit.2022.04.pp.020-032

DOI: 10.14489/vkit.2022.04.pp.020-032

Короткий В. А.
СОСТАВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ГЛАДКИЕ КУБИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ ЭРМИТА В ПРОСТРАНСТВЕ И НА ПЛОСКОСТИ
(с. 20-32)

Аннотация. Предложены конструктивные алгоритмы формирования составной кубической кривой, проходящей через заданные точки с указанными в них направляющими векторами. Направляющие векторы рассмотрены как элементы управления формой конструируемой кривой. В точках соединения кубических сегментов обеспечена геометрическая гладкость второго порядка, обусловленная непрерывностью наклона и кривизны. Предлагаемые алгоритмы позволяют: формировать пространственную кривую с заданной кривизной в начальной точке; конструировать плоскую кривую с заданными радиусами кривизны в узлах; вставлять сегмент; находить гладкое (без разрыва кривизны) сопряжение криволинейных и прямолинейных участков конструируемой линии. Отличительная особенность алгоритмов – существенное использование справочных средств и конструктивных возможностей трехмерной компьютерной графики. Все необходимые действия выполнены с помощью настольного калькулятора и любого программного продукта, поддерживающего трехмерную графику (Компас-3D, AutoCAD и др.).

Ключевые слова: геометрическая непрерывность; параметрическая непрерывность; кубический сегмент; вставка сегмента; соприкасающаяся плоскость; направляющий вектор.

Korotkii V. A.
COMPOSITE GEOMETRICALLY SMOOTH CUBIC HERMITE CURVES IN SPACE AND ON THE PLANE
(pp. 20-32)

Abstract. The article considers constructive algorithms for creating compound curves using parametric cubic equations. The possibilities of modern computer technology and systems of computer mathematics make it possible to implement algorithms of graph analytics using fractional rational parametric equations of the fifth, seventh and higher orders. The article considers a constructive algorithm for creating a compound cubic curve passing through given points with direction vectors specified in these points. Direction vectors can be used for monitoring the shape of a constructed curve. At the junction points of the cubic curve segments, second order geometric flatness is ensured, due to the equicontinuity of the camber and curvature. The required curve is made sequentially by attaching a new segment to the previous segment. Each segment must comply with the same group of geometric conditions: frequency at boundary points, contact with direction vectors, fixed curvature at one or both boundary points. The article proposes a constructive algorithm for constructing a three-dimensional or flat cubic Hermite segment that satisfies this group of conditions. The problem of constructing a compound geometrically smooth curve boils down to sequential construction of cubic segments using the proposed algorithm. The method proposed in the article for constructing a smooth compound curve allows: to shape a spatial curve with a given curvature at the starting point; to construct a plane curve with given radii of curvature at the nodes (in particular, with zero curvature at the nodal points); insert a cubic segment into a break in a curved line; find a smooth (without a break in a curve) conjugation of curvilinear and rectilinear sections of the constructed line. A distinctive feature of the algorithm is the significant use of reference tools and design capabilities of three-dimensional computer graphics. All necessary actions are performed using a desktop calculator and any software product that supports three-dimensional graphics (Compass-3D, AutoCAD, etc.). Five transparent examples of constructing flat and spatial composite cubic curves of the second order of smoothness are considered.

Keywords: Geometric continuity; Parametric continuity; Cubic segment; Insert segment; Tangent plane; Direction vector.

+ - Информация об авторах (About the Authors) Click to collapse

Рус

В. А. Короткий (Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

Eng

V. A. Korotkii (South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

+ - Библиографический список (References) Click to collapse

Рус

1. Marsh D. Applied Geometry for Computer Graphics and CAD. 2nded. London, UK: Springer, 2005. 350 p.
2. Farin G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Disain. Implementation and Algoritms. A Practical Guide. 4th ed. San Diego, CA, USA: Academic Press, 1997. 499 p.
3. Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование. М.: ДМК-Пресс, 2020. 406 с.
4. Agoston M. K. Computer Graphics and Geometric Modeling. London, UK: Springer, 2005. 907 p.
5. Gallier J. Curves and Surfaces in Geometric Modeling: Theory and Algoritms. Philadelphia, PA, USA: University of Pennsylvania, 2018. 492 p.
6. Panchuk K., Myasoedova T., Lyubchinov E. Spline Curves Formation Given Extreme Derivatives // Mathematics. 2021. V. 9, No. 1. Р. 1 – 29. DOI 10.3390/math9010047
7. Панчук К. Л., Юрков В. Ю., Кайгородцева Н. В. Математические основы геометрического моделирования кривых линий: учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2020. 198 с.
8. Шикин Е. В., Плисс Л. И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. М.: Диалог-МИФИ, 1996. 240 с.
9. Salomon D. Curves and Surfaces for Computer Graphics. New York, NY, USA: Springer Science+Businnes Media, Inc., 2006. 461 p.
10. Короткий В. А. Кубические кривые в инженерной геометрии // Геометрия и графика. 2020. Т. 8, № 3. С. 3 – 24. DOI 10.12737/2308-4898-2020-3-24

Eng

1. Marsh D. (2005). Applied Geometry for Computer Graphics and CAD. 2nd ed. London: Springer.
2. Farin G. (1997). Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design. Implementation and Algorithms. A Practical Guide. 4th ed. San Diego: Academic Press.
3. Golovanov N. N. (2020). Geometric modeling. Moscow: DMK-Press. [in Russian language]
4. Agoston M. K. (2005). Computer Graphics and Geometric Modeling. London: Springer.
5. Gallier J. (2018). Curves and Surfaces in Geometric Modeling: Theory and Algorithms. Philadelphia: University of Pennsylvania.
6. Panchuk K., Myasoedova T., Lyubchinov E. (2021). Spline Curves Formation Given Extreme Derivatives. Mathematics, Vol. 9, (1), pp. 1 – 29. DOI 10.3390/math9010047
7. Panchuk K. L., Yurkov V. Yu., Kaygorodtseva N. V. (2020). Mathematical Foundations of Geometric Modeling of Curved Lines: Textbook. Omsk: Izdatel'stvo OmGTU. [in Russian language]
8. Shikin E. V., Pliss L. I. (1996). Curves and surfaces on a computer screen. A guide to splines for users. Moscow: Dialog-MIFI. [in Russian language]
9. Salomon D. (2006). Curves and Surfaces for Computer Graphics. New York: Springer Science+Businnes Media, Incorporated.
10. Korotkiy V. A. (2020). Cubic curves in engineering geometry. Geometriya i grafika, Vol. 8, (3), pp. 3 – 24. [in Russian language] DOI 10.12737/2308-4898-2020-3-24

+ - Заказать электронную версию статьи (Purchase digital version of a single article) Click to collapse

Рус

Статью можно приобрести в электронном виде (PDF формат).

Стоимость статьи 500 руб. (в том числе НДС 18%). После оформления заказа, в течение нескольких дней, на указанный вами e-mail придут счет и квитанция для оплаты в банке.

После поступления денег на счет издательства, вам будет выслан электронный вариант статьи.

Для заказа скопируйте doi статьи:

10.14489/vkit.2022.04.pp.020-032

и заполните форму

Отправляя форму вы даете согласие на обработку персональных данных.

Eng

This article is available in electronic format (PDF).

The cost of a single article is 500 rubles. (including VAT 18%). After you place an order within a few days, you will receive following documents to your specified e-mail: account on payment and receipt to pay in the bank.

After depositing your payment on our bank account we send you file of the article by e-mail.

To order articles please copy the article doi:

10.14489/vkit.2022.04.pp.020-032

and fill out the form