10.14489/vkit.2026.08.pp.003-013

DOI: 10.14489/vkit.2026.08.pp.003-013

Кислицын Д. И., Конопацкий Е. В.
МОДЕЛИРОВАНИЕ АППРОКСИМАЦИОННЫХ КРИВЫХ НА ОСНОВЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
(c. 3-13)

Аннотация. Посвящена исследованию эффективности метода оптимального поиска узлов аппроксимации непрерывных функций, который разработан с учетом нелинейности пространства. Этот метод сравнивается с широко известным итеративным алгоритмом равномерного аппроксимирования функций, предложенным математиком Е. Я. Ремезом в 1934 г. Особенность метода оптимального поиска узлов аппроксимации состоит в формировании отдельных параметрических полиномов для каждой координатной оси, тогда как в методе Ремеза применяется единый полином для всей аппроксимируемой функции. В ходе численных экспериментов проведено сравнение обоих методов на примерах функций Рунге и тригонометрической функции. Получены графики аппроксимирующих полиномов, выполнены расчеты среднеквадратичной ошибки и проанализировано время построения полиномов. Результаты показывают значительное преимущество метода оптимального поиска узлов аппроксимации по следующим критериям: точность, скорость выполнения, устойчивость. Таким образом, метод оптимального поиска узлов аппроксимации представляет собой перспективный подход для аппроксимации непрерывных функций, способствуя повышению качества результатов и снижению временных затрат.

Ключевые слова: моделирование кривых; аппроксимация; алгоритм Ремеза; полиномиальная функция; поиск глобального минимума; поиск локального минимума; функция Рунге.

Kislitsyn D. I., Konopatskiy E. V.
MODELING OF APPROXIMATION CURVES BASED ON POLYNOMIAL FUNCTIONS
(pp. 3-13)

Abstract. The manuscript is devoted to the study of the effectiveness of the method of optimal search for nodes of approximation of continuous functions, which was developed taking into account the nonlinearity of space. Approximation of continuous functions is vital for numerical analysis, computer graphics, and modeling of physical processes. Traditional methods, such as interpolation by Lagrange, Newton, Chebyshev, and Remez polynomials with splines, suffer from the Runge phenomenon, sensitivity to node location, high degree polynomials, and high computational costs. In this manuscript, our method is compared with the well-known iterative algorithm for uniform approximation of functions proposed by the Soviet mathematician E.Ya. Remez in 1934. The main difference between the method of optimal search for approximation nodes is the formation of separate parametric polynomials for each coordinate axis in nonlinear spaces, optimal placement of nodes by minimizing the root mean square error (MSE). While the Remez method applies a single polynomial for the entire approximated function. In the course of numerical experiments, both methods were compared using examples of Runge functions and trigonometric functions. Graphs of approximating polynomials are obtained, the root-mean-square error is calculated, and the construction time of the polynomials is analyzed. The results show a significant advantage of the optimal search method for approximation nodes based on the following criteria: accuracy, speed, stability. Thus, the method of optimal search for approximation nodes is a promising approach for approximating continuous functions, which helps to improve the quality of results and reduce time costs.

Keywords: Curve modeling; Approximation; Remez algorithm; Polynomial function; Global minimum search; Local minimum search; Runge function.

+ - Информация об авторах (About the Authors) Click to collapse

Рус

Д. И. Кислицын, Е. В. Конопацкий (Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород, Россия) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

Eng

D. I. Kislitsyn, E. V. Konopatskiy (Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, Russia) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

+ - Библиографический список (References) Click to collapse

Рус

1. Толок А. В., Толок Н. Б. Функционально-воксельное моделирование задачи Коши // Научная визуализация. 2024. Т. 16, № 1. С. 105–111. DOI: 10.26583/sv.16.1.09
2. Васильев А. Н., Лазовская Т. В., Тархов Д. А. Аппроксимация функций Бесселя методом построения многослойных решений дифференциальных уравнений // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2020. Т. 16, № 2. С. 273–284. DOI: 10.25559/SITITO.16.202002.273-284
3. Konopatskiy E. V., Voronova O. S., Shevchuk O. A., Bezditnyi A. A. About one method of numeral decision of differential equalizations in partials using geometric interpolants // CEUR Workshop Proceedings (CPT 2020). ноябрь 2020. Tomsk, Russia. Vol. 2763. P. 213–219. DOI: 10.30987/conferencearticle_5fce27708eb353.92843700
4. Короткий В. А. Незакономерные кривые в инженерной геометрии и компьютерной графике // Научная визуализация. 2022. Т. 14, № 1. С. 1–17. DOI: 10.26583/sv.14.1.01
5. Ta Y.T., Ngo H.H., Nguyen V.H. A new computational method for determining parameters representing fundamental frequency contours of speech words // Journal of Information Hiding and Multimedia Signal Processing. 2020. Vol. 11, No. 1. P. 1–13.
6. Utilization of SAM-based network for developing function approximation / M. Motoki, H. Shintani, K. Matsuo et al. // Journal of Digital Information Management. 2022. Vol. 20. No. 4. P. 148–155. DOI: 10.6025/jdim/2022/20/4/148-155
7. Когут А. Т. Метод полиномиальной аппроксимации в задачах оптимизации, параметрической идентификации и траекторного управления нелинейными динамическими объектами. Омск, 2009. 374 с.
8. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. М.: Физматлит, 2006.
9. Корельская А. В. Аппроксимация функций с использованием алгоритма Ремеза // Международный научно-исследовательский журнал. 2023. № 9(135). DOI: 10.23670/IRJ.2023.135.5. EDN YTABCK
10. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 672 с.
11. Дронов С. В. Методы и задачи многомерной статистики. Барнаул: Алтайский государственный университет, 2015. 275 с.
12. Галкин В. А., Гавриленко Т. В., Смородинов А. Д. Некоторые аспекты аппроксимации и интерполяции функций искусственными нейронными сетями // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2022. Т. 38, № 1. С. 54–73. DOI: 10.26117/2079-6641-2022-38-1-54-73. EDN JTZQQZ
13. Конопацкий Е. В., Кислицын Д. И., Степура А. В., Котова О. В. Метод поиска оптимального расположения узлов аппроксимации непрерывных функций с учетом нелинейности пространства // Научная визуализация. 2025. Т. 17, № 3. С. 1–8. DOI: 10.26583/sv.17.3.01

Eng

1. Tolok, A. V., & Tolok, N. B. (2024). Functional voxel modeling of the Cauchy problem. Nauchnaya vizualizatsiya, 16(1), 105–111. [in Russian language]. https://doi.org/10.26583/sv.16.1.09
2. Vasiliev, A. N., Lazovskaya, T. V., & Tarkhov, D. A. (2020). Approximation of Bessel functions by constructing multilayer solutions of differential equations. Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT obrazovanie, 16(2), 273–284. [in Russian language]. https://doi.org/10.25559/SITITO.16.202002.273-284
3. Konopatskiy, E. V., Voronova, O. S., Shev-chuk, O. A., & Bezditnyi, A. A. (2020). About one method of numeral decision of differential equalizations in partials using geometric interpolants. In CEUR Workshop Proceedings (CPT 2020) (Vol. 2763, pp. 213–219). Tomsk, Russia. https://doi.org/10.30987/conferencearticle_5fce27708eb353.92843700
4. Korotkiy, V. A. (2022). Irregular curves in engineering geometry and computer graphics. Nauchnaya vizualizatsiya, 14(1), 1–17. [in Russian language]. https://doi.org/10.26583/sv.14.1.01
5. Ta, Y. T., Ngo, H. H., & Nguyen, V. H. (2020). A new computational method for determining parameters representing fundamental frequency contours of speech words. Journal of Information Hiding and Multimedia Signal Processing, 11(1), 1–13.
6. Motoki, M., Shintani, H., Matsuo, K., et al. (2022). Utilization of SAM based network for developing function approximation. Journal of Digital Information Management, 20(4), 148–155. https://doi.org/10.6025/jdim/2022/20/4/148-155
7. Kogut, A. T. (2009). Method of polynomial approximation in problems of optimization, parametric identification and trajectory control of nonlinear dynamic objects. Omsk. [in Russian language].
8. Bakhvalov, N., Zhidkov, N., & Kobelkov, G. (2006). Numerical methods. Fizmatlit. [in Russian language].
9. Korelskaya, A. V. (2023). Approximation of functions using the Remez algorithm. Mezhdunarodnyy nauchno issledovatel'skiy zhurnal, (9). [in Russian language]. https://doi.org/10.23670/IRJ.2023.135.5
10. Mallat, S. (2005). Wavelets in signal processing. Mir. [in Russian language].
11. Dronov, S. V. (2015). Methods and problems of multivariate statistics. Altai State University. [in Russian language].
12. Galkin, V. A., Gavrilenko, T. V., & Smorodinov, A. D. (2022). Some aspects of approximation and interpolation of functions by artificial neural networks. Vestnik KRAUNTS. Fiziko matematicheskie nauki, 38(1), 54–73. [in Russian language]. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2022-38-1-54-73
13. Konopatskiy, E. V., Kislitsyn, D. I., Stepura, A. V., & Kotova, O. V. (2025). Method for finding the optimal location of approximation nodes of continuous functions taking into account space nonlinearity. Nauchnaya vizualizatsiya, 17(3), 1–8. [in Russian language]. https://doi.org/10.26583/sv.17.3.01

+ - Заказать электронную версию статьи (Purchase digital version of a single article) Click to collapse

Рус

Статью можно приобрести в электронном виде (PDF формат).

Стоимость статьи 700 руб. (в том числе НДС 20%). После оформления заказа, в течение нескольких дней, на указанный вами e-mail придут счет и квитанция для оплаты в банке.

После поступления денег на счет издательства, вам будет выслан электронный вариант статьи.

Для заказа скопируйте doi статьи:

10.14489/vkit.2026.08.pp.003-013

и заполните форму

Отправляя форму вы даете согласие на обработку персональных данных.

Eng

This article is available in electronic format (PDF).

The cost of a single article is 700 rubles. (including VAT 20%). After you place an order within a few days, you will receive following documents to your specified e-mail: account on payment and receipt to pay in the bank.

After depositing your payment on our bank account we send you file of the article by e-mail.

To order articles please copy the article doi:

10.14489/vkit.2026.08.pp.003-013

and fill out the form