10.14489/vkit.2026.04.pp.003-011

DOI: 10.14489/vkit.2026.04.pp.003-011

Конопацкий Е. В., Опарышев В. П.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИВЫХ ДВОЙНОГО СОПРИКОСНОВЕНИЯ
(c. 3-11)

Аннотация. Представлены геометрический и вычислительный алгоритмы определения кривых двойного соприкосновения, полученных посредством геометрического алгоритма на основе кривых первого поколения, согласованных одним и тем же параметром. В качестве кривых первого поколения используются кривые второго порядка, заданные с помощью двух касательных и инженерного дискриминанта. Особенностью полученных кривых двойного соприкосновения является сохранение геометрических свойств касания в начальной и конечной точках от кривых первого поколения. Под кривыми двойного соприкосновения в данной работе понимаются кривые, для которых кривые первого и второго поколения имеют одни и те же касательные в начальной и конечной точках, обеспечивая тем самым двойное касание. Вариативность кривых двойного соприкосновения обеспечивается выбором значений инженерных дискриминантов кривых первого поколения и связующей функции от параметра. Параметризация кривых двойного соприкосновения выполнена с помощью математического аппарата «Точечное исчисление». Исследованы новые кривые, полученные на основе различных элементарных функций от параметра, при различных значениях инженерных дискриминантов. Проведенные вычислительные эксперименты показали, что вне зависимости от выбора связующей функции и значений инженерного дискриминанта кривые двойного соприкосновения сохраняют свои геометрические свойства касания в начальной и конечной точках. Кроме того, вычислительные эксперименты показали, что кривизна кривых двойного соприкосновения зависит от значений инженерного дискриминанта кривых первого поколения: чем ближе друг к другу эти значения, тем кривая плавнее.

Ключевые слова: геометрическое моделирование; точечное исчисление; дуга обвода; кривая второго порядка; двойное касание.

Konopatskiy E. V., Oparyshev V. P.
GEOMETRIC MODELING OF DOUBLE CONTACT CURVES
(pp. 3-11)

Abstract. This paper presents geometric and computational algorithms for determining double-contact curves obtained using a geometric algorithm based on first-generation curves matched by the same parameter. Second-order curves defined by two tangents and an engineering discriminant are used as first-generation curves. A distinctive feature of the resulting double-contact curves is the preservation of the geometric properties of contact at the initial and final points of the first-generation curves. Therefore, in this paper, double-contact curves are defined as curves for which the first- and second-generation curves have the same tangents at the initial and final points, thereby ensuring double contact. The variability of double-contact curves is ensured by the choice of engineering discriminant values for the first-generation curves and the connecting function of the parameter. Parameterization of the double-contact curves was performed using the "Point Calculus" mathematical apparatus. As a result, new curves obtained based on various elementary functions of the parameter and with different values of the engineering discriminants were investigated. Computational experiments showed that, regardless of the choice of the connecting function and the values of the engineering discriminant, the double-contact curves retain their geometric properties of contact at the initial and final points. Furthermore, computational experiments showed that the curvature of the double-contact curves depends on the values of the engineering discriminant of the first-generation curves: the closer these values are to each other, the smoother the curve.

Keywords: Geometric modeling; Point calculus; Spline; Second-order curve; Double tangent.

+ - Информация об авторах (About the Authors) Click to collapse

Рус

Е. В. Конопацкий, В. П. Опарышев (Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород, Россия) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

Eng

E. V. Konopatskiy, V. P. Oparyshev (Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, Russia) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

+ - Библиографический список (References) Click to collapse

Рус

1. Горавнева Т. С. Способы моделирования кривых применительно к САПР // Современные научные исследования и инновации. 2022. № 3. URL: https://web.snauka.ru/issues/2022/03/97870 (дата обращения: 28.04.2025).
2. Гавриленко Е. А., Найдыш А. В. Вариативное дискретное геометрическое моделирование одномерных обводов на основе пространственных угловых параметров // Технические науки – от теории к практике. 2013. № 6(66). С. 6.
3. Фоменко В. Т., Сидорякина В. В. Построение гладкого класса С2 обвода методом кривых второго порядка с заданными касательными в узлах // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2013. № 1. С. 37–41.
4. Синицын С. А. Метод статистической аппроксимации линейных геометрических обводов различной гладкости // Оригинальные исследования. 2020. Т. 10, № 1. С. 34–38.
5. Короткий В. А. Двойное прикосновение в пучке поверхностей второго порядка // Геометрия и графика. 2014. № 1. С. 9–14. DOI: 10.12737/3843
6. Короткий В. А. Формообразование линий и поверхностей на основе кривых второго порядка в компьютерном геометрическом моделировании. Нижний Новгород, 2018. 323 с.
7. Муфтеев В. Г., Максименко А. Функциональные кривые высокого качества – инновация в геометрическом моделировании от C3D Labs // САПР и Графика. 2021. №4. С. 10.
8. Конопацкий Е. В. Геометрическое моделирование алгебраических кривых и их использование при конструировании поверхностей в точечном исчислении Балюбы–Найдыша. Мелитополь, 2012. 163 с.
9. Конопацкий Е. В. Использование кривых одного отношения для конструирования профиля крыла летательного аппарата в БН-исчислении // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. 2017. № 50. С. 90–100. DOI: 10.15593/2224-9982/2017.50.09
10. Моделирование кривых 2-го порядка и поверхностей оболочек инженерных сооружений на их основе / Е. В. Конопацкий, О. С. Воронова, С. И. Ротков и др. // Строительство и техногенная безопасность. 2021. № 22(74). С. 101–110. DOI: 10.37279/2413-1873-2021-22-101-110

Eng

1. Goravneva, T. S. (2022). Methods of curve modeling in relation to CAD. Sovremennye nauchnye issledovaniya i innovatsii, (3). Retrieved April 28, 2025, from https://web.snauka.ru/issues/2022/03/97870 [in Russian language].
2. Gavrilenko, E. A., & Naydysh, A. V. (2013). Variational discrete geometric modeling of one-dimensional fair curves based on spatial angular parameters. Tekhnicheskie nauki – ot teorii k praktike, (6), [in Russian language].
3. Fomenko, V. T., & Sidoryakina, V. V. (2013). Construction of a smooth C² fair curve using the method of second-order curves with given tangents at nodes. Vestnik Taganrogskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo instituta, (1), 37–41. [in Russian language].
4. Sinitsyn, S. A. (2020). Method of statistical approximation of linear geometric fair curves of various smoothness. Original'nye issledovaniya, 10(1), 34–38. [in Russian language].
5. Korotky, V. A. (2014). Double contact in a pencil of second-order surfaces. Geometriya i grafika, (1), 9–14. [in Russian language]. https://doi.org/10.12737/3843
6. Korotky, V. A. (2018). Shaping of lines and surfaces based on second-order curves in computer geometric modeling. Nizhny Novgorod. [in Russian language].
7. Mufteev, V. G., & Maksimenko, A. (2021). High-quality functional curves – an innovation in geometric modeling from C3D Labs. SAPR i Grafika, (4), 10. [in Russian language].
8. Konopatsky, E. V. (2012). Geometric modeling of algebraic curves and their use in designing surfaces in Balyuba–Naydysh point calculus. Melitopol. [in Russian language].
9. Konopatsky, E. V. (2017). Using curves of a single ratio to design an aircraft wing profile in BN calculus. Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Aerokosmicheskaya tekhnika, (50), 90–100. [in Russian language]. https://doi.org/10.15593/2224-9982/2017.50.09
10. Konopatsky, E. V., Voronova, O. S., Rotkov, S. I., et al. (2021). Modeling of second-order curves and shell surfaces of engineering structures based on them. Stroitel'stvo i tekhnogennaya bezopasnost', (22), 101–110. [in Russian language]. https://doi.org/10.37279/2413-1873-2021-22-101-110

+ - Заказать электронную версию статьи (Purchase digital version of a single article) Click to collapse

Рус

Статью можно приобрести в электронном виде (PDF формат).

Стоимость статьи 700 руб. (в том числе НДС 20%). После оформления заказа, в течение нескольких дней, на указанный вами e-mail придут счет и квитанция для оплаты в банке.

После поступления денег на счет издательства, вам будет выслан электронный вариант статьи.

Для заказа скопируйте doi статьи:

10.14489/vkit.2026.04.pp.003-011

и заполните форму

Отправляя форму вы даете согласие на обработку персональных данных.

Eng

This article is available in electronic format (PDF).

The cost of a single article is 700 rubles. (including VAT 20%). After you place an order within a few days, you will receive following documents to your specified e-mail: account on payment and receipt to pay in the bank.

After depositing your payment on our bank account we send you file of the article by e-mail.

To order articles please copy the article doi:

10.14489/vkit.2026.04.pp.003-011

and fill out the form