|
DOI: 10.14489/vkit.2019.09.pp.011-018
Конопацкий Е. В.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
(с. 11-18)
Аннотация. Изложена геометрическая интерпретация метода наименьших квадратов. При этом предложено одно из возможных его обобщений на многомерное пространство. Такой подход позволяет расширить возможности одного из ключевых методов многомерной аппроксимации и эффективно использовать его для геометрического моделирования многофакторных процессов и явлений. Аналитическое описание рассматриваемого метода выполнено с помощью точечных уравнений. Для оценки точности геометрической модели, полученной с помощью многомерной аппроксимации, используется коэффициент детерминации, основанный на сравнении двух сумм квадратов длин отрезков. Приводится пример применения предложенного обобщения для геометрического моделирования трехпараметрической гиперповерхности отклика, принадлежащей четырехмерному пространству, применительно к определению прочностных характеристик по всему объему бетонной колонны.
Ключевые слова: геометрическое моделирование; многомерная аппроксимация; многомерная интерполяция; метод наименьших квадратов; геометрический объект; метрический оператор трех точек.
Konopatskiy Ye. V.
GEOMETRIC MEANING OF LEAST SQUARES METHOD
(pp. 11-18)
Abstract. The geometric interpretation of the least squares method is presents. At the same time, one of its possible generalizations to multidimensional space is proposed. This approach makes it possible to expand the capabilities one of the key methods of multidimensional approximation and effectively use it for geometric modeling of multifactor processes and phenomena. The analytical description of the proposed method is performed using point equations. The geometric interpretation of the generalized least squares method, which consists in determining the linear surface of the minimum width between two hypersurfaces in the hyperspace of the General position, extends the tools of geometric modeling objects in multidimensional space and can be effectively used for geometric modeling of multifactor processes and phenomena’s, by presenting them in the form of geometric multiparameter objects passing through predetermined points. In this case, the approximation process is reduced to determining the coordinates of the nodal points of the geometric object of multidimensional space that satisfy the condition of minimizing the sum of the lengths of the segments between the nodal points and the given ones. Also, using the proposed approach, the generalization of the coefficient of determination on the multidimensional space as a tool for assessing the accuracy of the results of multidimensional approximation is performed. An example of using the proposed generalization for the geometric modeling of a three-parameter hypersurface of the response belonging to a four-dimensional space in relation to the determination of strength characteristics over the entire volume of a concrete column is given.
Keywords: Geometric modeling; Multidimensional approximation; Multidimensional interpolation; Least squares method; Geometric object; Metric three-point operator.
Е. В. Конопацкий (Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, Макеевка, Украина) E-mail:
Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript
Ye. V. Konopatskiy (Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Ukraine) E-mail:
Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript
1. Конопацкий Е. В. Геометрическое моделирование и оптимизация многофакторных процессов и явлений методом многомерной интерполяции // Тр. Междунар. науч. конф. по физико-технической информатике (CPT-2018), 28 – 31 мая 2018 г. Моск-ва–Протвино, 2018. С. 299 – 306.
2. Бахвалов Ю. Н. Метод многомерной интерполяции и аппроксимации и его приложения. М.: Спутник+, 2007. 108 с.
3. Бутырский Е. Ю., Кувалдин И. А., Чалкин В. П. Аппроксимация многомерных функций // Научное приборостроение. 2010. Т. 20, № 2. С. 82 – 92.
4. Беляев М. Г. Аппроксимация многомерных зависимостей по структурированным выборкам // Искусственный интеллект и принятие решений. 2013. № 3. С. 24 – 39.
5. Блинов А. О., Фраленко В. П. Многомерная аппроксимация в задачах моделирования и оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2009. № 4. С. 98 – 109.
6. Губанов B. C. Обобщенный метод наименьших квадратов. Теория и применение в астрометрии. СПб.: Наука, 1997. 318 с.
7. Гольцов Н. А. Обобщение метода наименьших квадратов на основе принципа максимального правдоподобия // Вестник МГУЛ. Лесной вестник. 2001. № 5. С. 202 – 204.
8. Обобщенная многомерная интерполяция методом наименьших квадратов / Д. А. Мустафина и др. // Вестник ПНИПУ. Электротехника, информационные технологии, системы управления. 2018. № 27. С. 30 – 48.
9. Конопацкий Е. В. Подход к построению геометрических моделей многофакторных про-цессов и явлений многомерной интерполяции // Програм¬мная инженерия. 2019. Т. 10, № 2. С. 77 – 86.
10. Конопацкий Е. В. Принципы построения компьютерных моделей многофакторных процессов и явлений методом многомерной интерполяции // Программная инженерия: методы и технологии разработки информационно-вычислительных систем (ПИИВС-2018): сб. материалов II Междунар. науч.-практ. конф. 14–15 ноября 2018 г. Донецк, 2018. Т. 1. С. 309 – 318.
11. Введение в математический аппарат БН-исчисления [Электронный ресурс] / А. И. Бумага и др. // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и иннова-ции: материалы VII Междунар. науч.-практ. интер-нет-конференции. Пермь, 2017. Т. 1. С. 76 – 82. URL: https://elibrary.ru/download/elibrary_29959892_35419289.pdf (дата обращения: 02.09.2019)
12. Балюба И. Г., Найдыш В. М. Точечное исчисление: учеб. пособие. Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. 236 с.
13. Пономарев И. В., Славский В. В. О геометрической интерпретации метода наименьших квадратов // Изв. АлтГУ. 2012. № 1-1 (73). С. 119 – 121.
14. Конопацкий Е. В., Воронова О. С. Геометрическая модель процесса распределения прочностных характеристик в бетонной колонне // Прикладная математика и вопросы управления. 2017. № 1. С. 37 – 44.
15. Конопацкий Е. В. Аппроксимация геометрических объектов с помощью дуг кривых, проходящих через наперед заданные точки // Информационные технологии. 2019. Т. 25, № 1. С. 46 – 52. doi: 10.17587/it.25.46-51.
16. Конопацкий Е. В. Моделирование дуг кри-вых, проходящих через наперед заданные точки // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2019. № 2. С. 30 – 36. doi: 10.14489/vkit.2019.02. pp.030-036.
1. Konopatskiy E. V. (2018). Geometric modeling and optimization of multifactor processes and phenomena by the method of multidimensional interpolation. Proceedings of the International Scientific Conference on Physical and Technical Informatics CPT2018, pp. 299 – 306. Moscow – Protvino. [in Russian language]
2. Bahvalov Yu. N. (2007). The method of multi-dimensional interpolation and approximation and its application. Moscow: Sputnik+. [in Russian language]
3. Butyrskiy E. Yu., Kuvaldin I. A., Chalkin V. P. (2010). Approximation of multidimensional functions. Nauchnoe priborostroenie, 20(2), pp. 82 – 92. [in Russian language]
4. Belyaev M. G. (2013). Approximation of multidimensional dependencies by structured samples. Iskusstvenniy intellekt i prinyatie resheniy, (3), pp. 24 – 39. [in Russian language]
5. Blinov A. O., Fralenko V. P. (2009). Multidi-mensional approximation in modeling and optimization problems. Avtomatika i telemekhanika, (4), pp. 98 – 109. [in Russian language]
6. Gubanov B. C. (1997). Generalized Least Squares Method. Theory and application in astrometry. Saint Petersburg: Nauka. [in Russian language]
7. Gol'tsov N. A. (2001). Generalization of the least squares method based on the principle of maximum likeness. Vestnik MGUL. Lesnoy vestnik, (5), pp. 202 – 204. [in Russian language]
8. Mustafina D. A., Burakova A. E., Mustafin A. I., Aleksandrova A. S. (2018). Generalized multidimensional least squares interpolation. Vestnik PNIPU. Elektrotekhnika, informatsionnye tekhnologii, sistemy upravleniya, 27, pp. 30 – 48. [in Russian language]
9. Konopatskiy E. V. (2019). An approach to the construction of geometric models of multifactorial processes and phenomena of multidimensional interpolation. Programmnaya inzheneriya, 10(2), pp. 77 – 86. [in Russian language]
10. Konopatskiy E. V. (2018). The principles of building computer models of multifactor processes and phenomena by the method of multidimensional interpolation. Software engineering: methods and technologies for the development of information and computing systems (PIIIVS-2018): a collection of materials of the II International Scientific and Practical Conference, pp. 277 – 287. Donetsk: DonNTU. [in Russian language]
11. Bumaga A. I., Konopatskiy E. V., Krys'ko A. A., Chernysheva O. A. (2017). Introduction to the mathematical apparatus of BN calculus. Quality problems of graphic preparation of students in a technical university: traditions and innovations: materials of the VII International Scientific and Practical Internet Conference, (4), pp. 76 – 82. Perm': PNIPU. [in Russian language]
12. Balyuba I. G., Naydysh V. M. (2015). Point calculus: textbook. Melitopol': MGPU im. B. Hmel'nitskogo. [in Russian language]
13. Ponomarev I. V., Slavskiy V. V. (2012). On the geometric interpretation of the least squares method. Izvestiya AltGU, (1-1), pp. 119 – 121. [in Russian language]
14. Konopatskiy E. V., Voronova O. S. (2017). A geometric model of the distribution of strength characteristics in a concrete column. Prikladnaya matematika i voprosy upravleniya, (1), pp. 37 – 44. Perm': PNIPU. [in Russian language]
15. Konopatskiy E. V. (2019). Approximation of geometric objects using arcs of curves passing through predetermined points. Informatsionnye tekhnologii, 25(1), pp. 46 – 52. [in Russian language] doi: 10.17587/it.25.46-51
16. Konopatskiy E. V. (2019).Modeling arcs of curves passing through predetermined points. Vestnik komp'yuternyh i informatsionnyh tekhnologiy, (2), pp. 30 – 36. [in Russian language] doi: 10.14489/vkit.2019.02. pp.030-036
Статью можно приобрести в электронном виде (PDF формат).
Стоимость статьи 350 руб. (в том числе НДС 18%). После оформления заказа, в течение нескольких дней, на указанный вами e-mail придут счет и квитанция для оплаты в банке.
После поступления денег на счет издательства, вам будет выслан электронный вариант статьи.
Для заказа скопируйте doi статьи:
10.14489/vkit.2019.09.pp.011-018
и заполните форму
Отправляя форму вы даете согласие на обработку персональных данных.
.
This article is available in electronic format (PDF).
The cost of a single article is 350 rubles. (including VAT 18%). After you place an order within a few days, you will receive following documents to your specified e-mail: account on payment and receipt to pay in the bank.
After depositing your payment on our bank account we send you file of the article by e-mail.
To order articles please copy the article doi:
10.14489/vkit.2019.09.pp.011-018
and fill out the form
.
|
Архив номеров
Разработка концепции и создание сайта - ООО «Издательский дом «СПЕКТР»