10.14489/vkit.2016.08.pp.003-007

DOI: 10.14489/vkit.2016.08.pp.003-007

Чистяков А. Е., Никитина А. В., Сумбаев В. В.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПУАССОНА НА ОСНОВЕ МНОГОСЕТОЧНОГО МЕТОДА
(c. 3-7)

Аннотация. Предложен вариант многосеточного метода, использующий адаптивный модифицированный попеременно-треугольный метод (МПТМ) при переходе между сетками. Разработана разностная схема для задачи Пуассона с применением различных расчетных сеток. Реализован алгоритм решения задачи Пуассона с помощью адаптивного МПТМ для различных расчетных сеток. Разработан и программно реализован алгоритм интерполяции численных результатов между сетками. Проведен сравнительный анализ скорости сходимости различных методов для одно- и многосеточного случаев. Показано, что использование многосеточного метода позволяет ускорить решение сеточных уравнений до 2,66 раз для метода Зейделя. Наличие начального приближения, полученного с помощью многосеточного метода, ускоряет адаптивный МПТМ более чем в 4 раза. Применение многосеточного метода влияет на скорость сходимости МПТМ в 1,7 раз больше по сравнению с влиянием на метод Зейделя.

Ключевые слова: разностная схема; ускорение; скорость сходимости; задача Пуассона; адаптивный попеременно-треугольный метод; многосеточный метод.

Chistyakov А. E., Nikitina A. V., Sumbaev V. V.
SOLUTION OF POISSON PROBLEM BASED ON MULTIGRID METHOD
(pp. 3-7)

Abstract. The paper covers the environmental problems solution reducing to the linear systems solution of large dimension with self-adjoint and non-self-adjoint operators. The implementation of discrete mathematical resulting models using a sequence of gathering uniform rectangular grids necessitates a reduction in the computation time. In this regard, we propose to use the multigrid method which is based on finding the initial approximation for the solution to a coarse grid. The aim is to reduce the time of adaptive modified alternating triangular method (MATM) realization to solve computationally-intensive difference equations systems by using the initial approximations obtained on coarse grids using the multigrid method. Algorithm for solving linear systems with non-self-adjoint operators using adaptive MATM was implemented. Interpolation algorithm for the numerical results between the grids was designed and implemented. In the construction of difference schemes, numerically implementing the task, partially filled cell method was used. Library software has been developed for solving grid equations for the non-self-adjoint case by Seidel methods and adaptive MATM. It has been found that in combination with MATM multigrid method is most efficient of these methods. MATM required minimum number of iterations, as compared with other methods. The study showed that the use of multigrid method to speed up the solution of difference equations to 2.66 times for the method of Seidel. Have an initial approximation, obtained by the multigrid method, adaptive MATM speeds more than 4 times. Application of multigrid method affects the speed of convergence MATM 1.7 times more compared with its effect on the method of Seidel.

Keywords: Difference scheme; Acceleration; Speed of convergence; Poisson problem; Adaptive alternating triangular method; Multigrid method.

+ - Информация об авторах (About the Authors) Click to collapse

Рус

А. Е. Чистяков, А. В. Никитина, В. В. Сумбаев (Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем им. акад. А. В. Каляева ЮФУ, Таганрог, Россия) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

Eng

А. E. Chistyakov, A. V. Nikitina, V. V. Sumbaev (Acad. A. V. Kalyaev Scientific Research Institute of Multiprocessor Computer Systems of Southern Federal University, Taganrog, Russia) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

+ - Библиографический список (References) Click to collapse

Рус

1. Федоренко Р. П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1961. Т. 1, № 5. С. 922 – 927.
2. Ладонкина М. Е., Милюкова О. Ю., Тишкин В. Ф. Численный метод решения уравнений диффузионного типа на основе использования многосеточного метода // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2010. Т. 50, № 8. С. 1438 – 1461.
3. Сухинов А. И., Тимофеева Е. Ф., Чистяков А. Е. Построение и исследование дискретной математической модели расчета прибрежных волновых процессов // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2011. № 8(121). С. 22 – 32.
4. Коновалов А. Н. К теории попеременно-треугольного итерационного метода // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43, № 3. C. 552 – 572.
5. Сухинов А. И., Чистяков А. Е. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором // Математическое моделирование. 2012. Т. 24, № 1. С. 3 – 20.
6. Сухинов А. И., Хачунц Д. С., Чистяков А. Е. Параллельные алгоритмы для прогноза состояния воздушной среды рекреационных зон прибрежных систем // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2015. № 5. С. 55 – 60.

Eng

1. Fedorenko R. P. (1961). The relaxation method for solving differential elliptic equations. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki, Vol. 1, (5), pp. 922-927. [in Russian language]
2. Ladonkina M. E., Miliukova O. Iu., Tishkin V. F. (2010). A numerical method for solving the diffusion equations based on the use of the multigrid method. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki, 50(8), pp. 1438-1461. [in Russian language]
3. Sukhinov A. I., Timofeeva E. F., Chistiakov A. E. (2011). Construction and investigation of discrete mathematical model for calculating riparian wave processes. Izvestiia IuFU. Tekhnicheskie nauki, 121(8), pp. 22-32. [in Russian language]
4. Konovalov A. N. (2002). Theory of the alternating triangle iteration method. Sibirskii matematicheskii zhurnal, 43(3), pp. 552-572. [in Russian language]
5. Sukhinov A. I., Chistiakov A. E. (2012). Adaptive modified alternately-triangular iterative method for solving difference equations with non-selfadjoint operator. Matematicheskoe modelirovanie, 24(1), pp. 3-20. [in Russian language]
6. Sukhinov A. I., Chistiakov A. E., Khachunts D. S. (2011). Mathematical modeling of motion of a multicomponent air media and transport of pollutants. Izvestiia IuFU. Tekhnicheskie nauki, 121(8), pp. 73-79. [in Russian language]

+ - Заказать электронную версию статьи (Purchase digital version of a single article) Click to collapse

Рус

Статью можно приобрести в электронном виде (PDF формат).

Стоимость статьи 350 руб. (в том числе НДС 18%). После оформления заказа, в течение нескольких дней, на указанный вами e-mail придут счет и квитанция для оплаты в банке.

После поступления денег на счет издательства, вам будет выслан электронный вариант статьи.

Для заказа статьи заполните форму:

{jform=1,doi=10.14489/vkit.2016.08.pp.003-007}

Eng

This article is available in electronic format (PDF).

The cost of a single article is 350 rubles. (including VAT 18%). After you place an order within a few days, you will receive following documents to your specified e-mail: account on payment and receipt to pay in the bank.

After depositing your payment on our bank account we send you file of the article by e-mail.

To order articles please fill out the form below:

{jform=2,doi=10.14489/vkit.2016.08.pp.003-007}