10.14489/vkit.2023.11.pp.003-008

DOI: 10.14489/vkit.2023.11.pp.003-008

Конопацкий Е. В., Ротков С. И., Лагунова М. В., Тюрина В. А.
ГРАФИЧЕСКОЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КРИВЫХ В ЯВНОМ ВИДЕ
(с. 3-8)

Аннотация. Цель работы – установление взаимосвязи между графическими и аналитическими методами решения задач на примере определения параметрических кривых в явном виде. Система параметрических уравнений плоской кривой в пространстве системы координат Otxy может быть представлена в виде системы двух проекций кривой на комплексном чертеже Монжа. Тогда искомая кривая в явном виде может быть получена в виде дискретного набора точек на профильной плоскости проекций в системе координат Otxy. Если рассматривать систему проекций кривой как единую кривую в трехмерном пространстве Otxy, то эта кривая может быть плоской и пространственной. Для плоских кривых, расположенных в плоскости частного положения, легко осуществить переход от параметрического задания кривой к явному виду за счет линейной зависимости между одной из переменных (x или y) и параметром t. В случае, когда кривая в системе координат Otxy принадлежит плоскости общего положения, можно использовать метод замены плоскостей проекций для преобразования ее в проецирующее положение. Это позволяет установить линейную взаимосвязь между одной из переменных и параметром, чтобы получить уравнение кривой в явном виде с последующим обратным преобразованием плоскостей проекций. Математически замена плоскости проекций эквивалентна замене системы координат и сводится к ее повороту вокруг начала координат. Приведены формулы для преобразования системы координат с учетом особенностей использования комплексного чертежа Монжа и для определения угла поворота системы координат.

Ключевые слова: параметрическая кривая; параметрическое уравнение; явное уравнение; комплексный чертеж Монжа; замена плоскостей проекций; замена системы координат.

Konopatskiy E. V., Rotkov S. I., Lagunova M. V., Tyurina V. A.
GRAPHICAL AND ANALYTICAL DEFINITION OF PARAMETRIC CURVES IN EXPLICIT FORM
(pp. 3-8)

Abstract. The aim of the work is to establish the relationship between graphical and analytical methods of solving problems on the example of the definition of parametric curves in explicit form. The idea is to represent the system of parametric equations of a plane curve in the space of Otxy coordinate system as a system of two projections of the curve on a complex Monge drawing. Then the desired curve can be obtained explicitly as a discrete set of points on the profile plane of projections in the Otxy coordinate system. If we consider the system of curve projections as a single curve in three-dimensional space Otxy, then this curve can be flat and spatial. For planar curves located in a partial position plane, it is easy to make the transition from parametric setting of the curve to an explicit form due to the linear relationship between one of the variables (x or y) and the parameter t. If the curve in the Otxy coordinate system belongs to the general position plane, we can use the projection plane replacement method to transform it to a projecting position. This allows a linear relationship to be established between one of the variables and a parameter to obtain the equation of the curve in explicit form, followed by an inverse transformation of the planes of projections. Mathematically, replacing the plane of projections is equivalent to replacing the coordinate system and reduces it to a rotation around the origin of the coordinates. Formulas for transforming the coordinate system, taking into account the peculiarities of using Monge's complex drawing and for determining the angle of rotation of the coordinate system are given.

Keywords: Parametric curve; Parametric equation; Explicit equation; Monge complex drawing; Replacement of projection planes; Replacement of coordinate system.

+ - Информация об авторах (About the Authors) Click to collapse

Рус

Е. В. Конопацкий, С. И. Ротков, М. В. Лагунова, В. А. Тюрина (Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород, Россия) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

Eng

E. V. Konopatskiy, S. I. Rotkov, M. V. Lagunova, V. A. Tyurina (Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, Russia) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

+ - Библиографический список (References) Click to collapse

Рус

1. Ляшков А. А. Отображение ортогональным проецированием поверхности, заданной параметрическими уравнениями. Омский научный вестник. 2012. № 2(110). С. 9–13.
2. Panchuk K. L., Myasoedova T. M., Lyubchinov E. V. Spline Curves Formation Given Extreme Derivatives. Mathematics. 2021. V. 9, No. 1. P. 1–29. DOI: 10.3390/math9010047
3. Кривошапко С. Н., Иванов В. Н. Поверхности конгруэнтных сечений на цилиндрах. Вестник МГСУ. 2020. Т. 15, № 12. С. 1620–1631. DOI: 10.22227/1997-0935.2020.12.1620-1631
4. Кокарева Я. А. Синтез уравнений линейчатых поверхностей с двумя криволинейными и одной прямолинейной направляющими. Геометрия и графика. 2018. Т. 6, № 3. С. 3–12. DOI: 10.12737/article_5bc454948a7d90.80979486
5. Гринько Е. А. Поверхности плоскопараллельного переноса конгруэнтных кривых. Строительная механика и расчет сооружений. 2021. № 3(296). С. 71–77. DOI: 10.37538/0039-2383.2021.3.71.77
6. Полозов В. С., Ротков С. И., Дергунов В. И. Базисный курс начертательной геометрии: учеб. / под ред. проф. С. И. Роткова. Н. Новгород, М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2007. 184 с.
7. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В., Бумага А. И. Точечное исчисление: учеб.-методич. пособие. Макеевка: Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, 2020. 244 с.
8. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A., Lagunova M. V., Naidysh A. V. Principles of Solid Modelling in Point Calculus. Journal of Physics: Conference Series. 2021. V. 1901. P. 012063. DOI: 10.1088/1742-6596/1901/1/012063
9. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 2001. 604 с.

Eng

1. Lyashkov A. A. (2012). Display by orthogonal projection of a surface defined by parametric equations. Omskiy nauchniy vestnik, 110(2), 9 – 13. [in Russian language]
2. Panchuk K. L., Myasoedova T. M., Lyubchinov E. V. (2021). Spline Curves Formation Given Extreme Derivatives. Mathematics, 9(1), 1 – 29. DOI: 10.3390/math9010047
3. Krivoshapko S. N., Ivanov V. N. (2020). Surfaces of congruent sections on cylinders. Vestnik MGSU, 15(12), 1620 – 1631. [in Russian language]. DOI: 10.22227/1997-0935.2020.12.1620-1631
4. Kokareva Ya. A. (2018). Synthesis of equations for ruled surfaces with two curved and one rectilinear guides. Geometriya i grafika, 6(3), 3 – 12. [in Russian language]. DOI: 10.12737/article_5bc454948a7d90.80979486
5. Grin'ko E. A. (2021). Surfaces of plane-parallel transfer of congruent curves. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy, 296(3), 71 – 77. [in Russian language]. DOI: 10.37538/0039-2383.2021.3.71.77
6. Rotkov S. I. (Ed.), Polozov V. S., Dergunov V. I. (2007). Basic course of descriptive geometry: textbook. Nizhniy Novgorod, Moscow: Izdatel'stvo Assotsiatsii stroitel'nyh vuzov. [in Russian language]
7. Balyuba I. G., Konopatskiy E. V., Bumaga A. I. (2020). Point calculus: educational and methodological textbook. Makeevka: Donbasskaya natsional'naya akademiya stroitel'stva i arhitektury. [in Russian language]
8. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A., Lagunova M. V., Naidysh A. V. (2021). Principles of Solid Modelling in Point Calculus. Journal of Physics: Conference Series, 1901. DOI: 10.1088/1742-6596/1901/1/012063
9. Rodzhers D., Adams Dzh. (2001). Mathematical foundations of computer graphics. Moscow: Mir. [in Russian language]

+ - Заказать электронную версию статьи (Purchase digital version of a single article) Click to collapse

Рус

Статью можно приобрести в электронном виде (PDF формат).

Стоимость статьи 500 руб. (в том числе НДС 20%). После оформления заказа, в течение нескольких дней, на указанный вами e-mail придут счет и квитанция для оплаты в банке.

После поступления денег на счет издательства, вам будет выслан электронный вариант статьи.

Для заказа скопируйте doi статьи:

10.14489/vkit.2023.11.pp.003-008

и заполните форму

Отправляя форму вы даете согласие на обработку персональных данных.

Eng

This article is available in electronic format (PDF).

The cost of a single article is 500 rubles. (including VAT 20%). After you place an order within a few days, you will receive following documents to your specified e-mail: account on payment and receipt to pay in the bank.

After depositing your payment on our bank account we send you file of the article by e-mail.

To order articles please copy the article doi:

10.14489/vkit.2023.11.pp.003-008

and fill out the form