10.14489/vkit.2023.04.pp.003-009

DOI: 10.14489/vkit.2023.04.pp.003-009

Балюба И. Г., Конопацкий Е. В., Бездитный А. А.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВОПОЛАГАЮЩИХ ТЕОРЕМ ТОЧЕЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(с. 3-9)

Аннотация. Представлены доказательства основополагающих теорем точечного исчисления, на основе которых разработаны базовые инструменты моделирования и параметризации геометрических объектов в точечном исчислении. Доказательство основной теоремы о простых отношениях, или О-теоремы, представляющей собой обобщение теоремы Менелая для многоугольника, в точечном исчислении основано на частном случае теоремы о площадях треугольников. Теорема о площадях треугольников позволяет установить взаимосвязь между отношением площадей треугольников и простыми отношениями трех точек, полученных на сторонах треугольника. Другое следствие теоремы о площадях треугольников может быть получено как результат использования теоремы о площадях треугольников с равными высотами, что подтверждает достоверность полученных результатов исследований и их однозначную взаимосвязь с известными теоремами. Доказательство теоремы об отношении площадей треугольников, или S-теоремы, основано на использовании свойств определителей матрицы и получено путем их преобразования. Эта теорема имеет обобщение в виде теоремы об отношении объемов тетраэдра или V-теоремы точечного исчисления с дальнейшим обобщением на многомерное пространство. Это дает возможность, используя знаменатель отношения в качестве единицы измерения, определять площади, объемы и гиперобъемы геометрических объектов с помощью простых отношений трех точек.

Ключевые слова: точечное исчисление; теорема; доказательство; площадь; простое отношение точек.

Balyuba I. G., Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A.
PROOFS OF THE FUNDAMENTAL THEOREMS OF THE POINT CALCULUS
(pp. 3-9)

Abstract. The manuscript includes proofs of the fundamental theorems of the point calculus, on the basis of which the basic tools for modeling and parameterization of geometrical objects in the point calculus are developed. The basic theorem of simple relations or O-theorem is a generalization of Menelaus’ theorem for a polygon. Its proof in the point calculus is based on a particular case of the triangle area theorem, the essence and proof of which are also given. The triangle area theorem allows us to establish the relationship between the ratio of triangle areas and the simple ratios of three points obtained on the sides of the triangle. Another consequence of the theorem on the areas of triangles can be obtained as a result of using the theorem on the areas of triangles with equal altitudes, which confirms the reliability of the obtained results and their unambiguous relationship with the known theorems. The proof of the theorem on the ratio of the areas of triangles or S-theorem is based on the use of the properties of the determinants of the matrix and obtained by transforming them. This theorem has a generalization in the form of the theorem on the relation of tetrahedron volumes or the V-theorem of the point calculus with a further generalization to the multidimensional space, the proof of which is similar to that given in the manuscript. This makes it possible to determine areas, volumes and hyper-volumes of geometric objects using the denominator of the ratio as a unit of measure by means of simple relations of three points.

Keywords: Point calculus; Theorem; Proof; Square; Simple point relation.

+ - Информация об авторах (About the Authors) Click to collapse

Рус

И. Г. Балюба (Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, Макеевка, Донецкая Народная Республика)
Е. В. Конопацкий (Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, Нижний Новгород, Россия) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript
А. А. Бездитный (Севастопольский филиал Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова, Севастополь, Россия)

Eng

I. G. Balyuba (Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeyevka, Donetsk People's Republic),
E. V. Konopatskiy (Nizhny Novgorod State University of Architecture and Civil Engineering, Nizhny Novgorod, Russia) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript
A. A. Bezditnyi (Sevastopol Branch of Plekhanov Russian University of Economics, Sevastopol, Russia)

+ - Библиографический список (References) Click to collapse

Рус

1. Балюба И. Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. … д-ра. техн. наук: 05.01.01. Макеевка: МИСИ, 1995. 227 с.
2. Балюба И. Г., Найдыш В. М. Точечное исчисление: учеб. пособие. Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. 236 с.
3. Теоретические основы точечного исчисления как математического аппарата геометрического и компьютерного моделирования / И. Г. Балюба, А. В. Найдыш, Е. В. Конопацкий и др. // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2023. Т. 20, № 2. C. 3 – 15. DOI: 10.14489/vkit.2023.01.pp.003-015
4. Конопацкий Е. В., Бездитный А. А. Точечные инструменты геометрического моделирования, инвариантные относительно параллельного проецирования. Геометрия и графика, 2022. Т. 9, № 4. С. 11 – 21. DOI: 10.12737/2308-4898-2022-9-4-11-21
5. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В., Бумага А. И. Точечное исчисление: учеб.-методич. пособие. Макеевка: ДонНАСА, 2020. 244 с.
6. Привалов И. И. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1966. 272 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1973. 832 с.

Eng

1. Balyuba I. G. (1995). Constructive geometry of manifolds in the point calculus. Makeevka: MISI. [in Russian language]
2. Balyuba I. G., Naydysh V. M. (2015). Point Calculus: a textbook. Melitopol': MGPU im. B. Hmel'-nitskogo. [in Russian language]
3. Balyuba I. G., Naydysh A. V., Konopatskiy E. V. et al. (2023). Theoretical foundations of the point calculus as a mathematical apparatus for geometric and computer modeling. Vestnik komp'yuternyh i informatsionnyh technologiy, Vol. 20 (2), pp. 3 – 15. [in Russian language] DOI: 10.14489/vkit.2023.02.pp.003-015
4. Konopatskiy E. V., Bezditniy A. A. (2022). Point-based geometric modeling tools invariant with respect to parallel projection. Geometriya i grafika, Vol. 9 (4), pp. 11 – 21. [in Russian language] DOI: 10.12737/2308-4898-2022-9-4-11-21
5. Balyuba I. G., Konopatskiy E. V., Bumaga A. I. (2020). Point calculus: teaching aid. Makeevka: DonNASA. [in Russian language]
6. Privalov I. I. (1966). Analytic geometry. Moscow: Nauka. [in Russian language]
7. Korn G., Korn T. (1973). Handbook of Mathematics (for scientists and engineers). Moscow: Nauka. [in Russian language]

+ - Заказать электронную версию статьи (Purchase digital version of a single article) Click to collapse

Рус

Статью можно приобрести в электронном виде (PDF формат).

Стоимость статьи 500 руб. (в том числе НДС 20%). После оформления заказа, в течение нескольких дней, на указанный вами e-mail придут счет и квитанция для оплаты в банке.

После поступления денег на счет издательства, вам будет выслан электронный вариант статьи.

Для заказа скопируйте doi статьи:

10.14489/vkit.2023.04.pp.003-009

и заполните форму

Отправляя форму вы даете согласие на обработку персональных данных.

Eng

This article is available in electronic format (PDF).

The cost of a single article is 500 rubles. (including VAT 20%). After you place an order within a few days, you will receive following documents to your specified e-mail: account on payment and receipt to pay in the bank.

After depositing your payment on our bank account we send you file of the article by e-mail.

To order articles please copy the article doi:

10.14489/vkit.2023.04.pp.003-009

and fill out the form