10.14489/vkit.2022.06.pp.003-011

DOI: 10.14489/vkit.2022.06.pp.003-011

Конопацкий Е. В., Бездитный А. А.
СОПРЯЖЕНИЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ В ТОЧЕЧНОМ ИСЧИСЛЕНИИ
(с. 3-11)

Аннотация. Реализован общий подход к сопряжению кривых линий в точечном исчислении, который включает геометрические алгоритмы сопряжения кривых и их аналитическое описание в виде точечных уравнений. Это является математической основой для построения высокопроизводительных систем автоматизированного проектирования и обеспечения их необходимыми инструментами геометрического моделирования. Рассмотрены геометрические алгоритмы сопряжения плоских и пространственных кривых в общем виде, включающих соответственно две или три свободные функции, непрерывные и дифференцируемые в пределах интервала изменения параметра. Для плоских и пространственных кривых представлено точечное определение касательных, которое получается дифференцированием уравнения исходной кривой по текущему параметру с последующим параллельным переносом полученного отрезка в точку касания. Непосредственно сопряжение обеспечивается с помощью дуг обвода первого порядка гладкости. Представлены несколько примеров определения дуг обвода в точечном исчислении и рекомндации по их использованию для сопряжения кривых линий. Приведенные точечные уравнения и вычислительные алгоритмы на их основе являются справедливыми не только для сопряжения кривых, но и прямых линий. Перспектива дальнейших исследований – сопряжение отсеков поверхностей, при котором две касательные к исходным отсекам поверхности будут формировать отсек поверхности с сечениями в виде дуг обвода выбранной формы.

Ключевые слова: сопряжение; плоская кривая; пространственная кривая; точечное исчисление; дуга обвода; касательная.

Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A.
CONJUGATION OF CURVED LINES IN THE POINT CALCULUS
(pp. 3-11)

Abstract. The paper implements a general approach to conjugate curves in the point calculus, which includes geometric algorithms for conjugating curves and their analytical description in the form of point equations. This is the mathematical basis for building high-performance computer-aided design systems and providing them with the necessary geometric modeling tools. Geometric algorithms for conjugating planar and spatial curves in general form involving, respectively, two or three free functions continuous and deferential within the parameter variation interval are considered. A point definition of tangents for planar and spatial curves is presented, which consists in differentiating the equation of the original curve by the current parameter followed by a parallel transfer of the resulting segment to the tangent point. Directly conjugation is provided by means of arcs of the first order of smoothness. Several examples of the definition of the arcs of the outline in the point calculus and recommendations on their use for the conjugation of curves are presented. The point equations given in the article and the computational algorithms based on them are valid not only for conjugation of curves, but also for straight lines, proceeding from the fact that a straight line is a special case of a zero-curvature curve that does not require a tangent to be constructed. The prospect of further research is for the conjugation of surface bays, in which two tangents to the original surface bays will form surface bays with cross-sections in the form of arcs of the outline of the chosen shape.

Keywords: Conjugation; Plane curve; Spatial curve; Point calculus; Spline arc; Tangent.

+ - Информация об авторах (About the Authors) Click to collapse

Рус

Е. В. Конопацкий (Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, Макеевка, Донецкая Народная Республика) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript
А. А. Бездитный (Севастопольский филиал Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова, Севастополь, Россия)

Eng

E. V. Konopatskiy (Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Donetsk Peopleʼs Republic) E-mail: Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript
A. A. Bezditnyi (Sevastopol Branch of Plekhanov Russian University of Economics, Sevastopol, Russia)

+ - Библиографический список (References) Click to collapse

Рус

1. Сальков Н. А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 3: Сопряжения // Геометрия и графика. 2015. Т. 3, № 4. С. 3 – 14. DOI 10.12737/17345
2. Chen Bingkui, Liang Dong, Gao Yane. Geometry Design and Mathematical Model of a New Kind of Gear Transmission with Circular Arc Tooth Profiles Based on Curve Contact Analysis // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2014. V. 228 (17). P. 3200 – 3208. DOI 10.1177/0954406214526866
3. Review of Research on Space Curve Meshing Theory and Its Applications / Chen Zhen, Ding Huafeng, Li Bo et al // Advances in Mechanical Design. 2018. V. 55. P. 151 – 163.
4. Liang Dong, Meng Sheng, Tan Rulong. Mathematical Model and Characteristics Analysis of Crossed-Axis Helical Gear Drive with Small Angle Based on Curve Contact Element // Science Progress. 2021. V. 104(2). DOI 10.1177/00368504211016202
5. Theoretical and Experimental Analysis of Gear Drive with Tubular Meshing Surfaces / Li Chaoyang, Liang Dong, Chen Bingkui et al // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2016. V. 230(12). P. 2098 – 2109. DOI 10.1177/0954406215587538
6. Geometry and Parameter Design of Novel Circular Arc Helical Gears for Parallel-Axis Transmission / Chen Zhen, Ding Huafeng, Li Bo et al // Advances in Mechanical Engineering. 2017. V. 9(2). DOI 10.1177/1687814017690957
7. Zhang Lu-he, Li Shi-xuan, Huang Jian, Chen Bingkui. Theoretical and Experimental Investigations of Gear Transmission with Geometric Elements Constructed Tooth Pairs Having Triple Contact Points // International Journal of Precision Engineering and Manufacturing, 2019. V. 20(7). P. 1197 – 1206. DOI 10.1007/s12541-019-00090-4
8. Korotkiy V. A., Khmarova L. I. Designing Architectural Surfaces According to Preset Geometrical Conditions // Journal of Physics: Conference Series 1260 (2019) 072008. DOI 10.1088/1742-6596/1260/7/072008
9. Wang Q., Gao B., Wu H. An Architectural Grid Generation over Free-Form Surfaces Based on Guide Curve Offsetting. Shanghai Jiaotong Daxue Xuebao // Journal of Shanghai Jiaotong University. 2019. V. 53(9). P. 1040 – 1044. DOI 10.16183/j.cnki.jsjtu.2019.09.004
10. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A., Lagunova M. V., Naidysh A.V. Principles of Solid Modelling in Point Calculus // Journal of Physics: Conference Series 1901 (2021) 012063. DOI 10.1088/1742-6596/1901/1/012063
11. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A. Solid Modeling of Geometric Objects in Point Calculus // CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the 31st International Conference on Computer Graphics and Vision (GraphiCon 2021). Nizhny Novgorod, Russia, 27 – 30 September 2021. V. 3027. P. 666 – 672. DOI 10.20948/graphicon-2021-3027-666-672
12. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A., Litvinov A. I. Geometric Modeling of Torse Surfaces in BN-Calculus // Journal of Physics: Conference Series 1791 (2021) 012050. DOI 10.1088/1742-6596/1791/1/012050
13. Конопацкий Е. В., Бездитный А. А., Кокарева Я. А., Кучеренко В. В. Особенности визуализации геометрических объектов в БН-исчислении // Научная визуализация. 2020. Т. 12, № 2. С. 98 – 109. DOI 10.26583/sv.12.2.08
14. Boyashova E., Voloshinov D., Musaeva T. Constructive Algorithm for Transforming Conics in a Circle on Imaginary Laguerre Points // CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the 31st International Conference on Computer Graphics and Vision (GraphiCon 2021). Nizhny Novgorod, Russia, 27 – 30 September 2021. V. 3027. P. 673 – 681.
15. Cantón A., Fernández-Jambrina L., Vázquez-Gallo M. J. Curvature of Planar Aesthetic Curves // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2021. V. 381. DOI 10.1016/j.cam.2020.113042
16. Kucukoglu I., Simsek B., Simsek Y. Multidimensional Bernstein Polynomials and Bezier Curves: Analysis of Machine Learning Algorithm for Facial Expression Recognition Based on Curvature // Applied Mathematics and Computation. 2019. V. 344 – 345. P. 150 – 162. DOI 10.1016/j.amc.2018.10.012
17. Li X., Luk K. M., Duan B. Aperture Illumination Designs for Microwave Wireless Power Transmission with Constraints on Edge Tapers Using Bezier Curves // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2019. V. 67, No. 2. P. 1380 – 1385. DOI 10.1109/ TAP.2018.2884850
18. Балюба И. Г., Конопацкий Е. В. Конструирование дуг обвода из кривых одного отношения // GraphiCon 2017: тр. 27-й Междунар. конф. по компьютерной графике и машинному зрению. Томск, Россия, 24 – 28 сентября 2017 г. Пермь: ПГНИУ, 2017. С. 332 – 334.

Eng

1. Sal'kov N. A. (2015). Properties of Dupin cyclides and their applications. Part 3: Pairings. Geometriya i grafika, Vol. 3, (4), pp. 3 – 14. [in Russian language] DOI 10.12737/17345
2. Chen Bingkui, Liang Dong, Gao Yane. (2014). Geometry Design and Mathematical Model of a New Kind of Gear Transmission with Circular Arc Tooth Profiles Based on Curve Contact Analysis. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, Vol. 228, 17, pp. 3200 – 3208. DOI 10.1177/ 0954406214526866
3. Chen Zhen, Ding Huafeng, Li Bo et al (2018). Review of Research on Space Curve Meshing Theory and Its Applications. Advances in Mechanical Design, Vol. 55, pp. 151 – 163.
4. Liang Dong, Meng Sheng, Tan Rulong. (2021). Mathematical Model and Characteristics Analysis of Crossed-Axis Helical Gear Drive with Small Angle Based on Curve Contact Element. Science Progress, Vol. 104, (2). DOI 10.1177/00368504211016202
5. Li Chaoyang, Liang Dong, Chen Bingkui et al (2016). Theoretical and Experimental Analysis of Gear Drive with Tubular Meshing Surfaces. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, Vol. 230, (12), pp. 2098 – 2109. DOI 10.1177/0954406215587538
6. Chen Zhen, Ding Huafeng, Li Bo et al (2017). Geometry and Parameter Design of Novel Circular Arc Helical Gears for Parallel-Axis Transmission. Advances in Mechanical Engineering, Vol. 9, (2). DOI 10.1177/1687814017690957
7. Zhang Lu-he, Li Shi-xuan, Huang Jian, Chen Bingkui. (2019). Theoretical and Experimental Investigations of Gear Transmission with Geometric Elements Constructed Tooth Pairs Having Triple Contact Points. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing, Vol. 20, (7), pp. 1197 – 1206. DOI 10.1007/s12541-019-00090-4
8. Korotkiy V. A., Khmarova L. I. (2019). Designing Architectural Surfaces According to Preset Geometrical Conditions. Journal of Physics: Conference Series, 1260(7):072008. DOI 10.1088/1742-6596/1260/7/072008
9. Wang Q., Gao B., Wu H. (2019). An Architectural Grid Generation over Free-Form Surfaces Based on Guide Curve Offsetting. Shanghai Jiaotong Daxue Xuebao. Journal of Shanghai Jiaotong University, Vol. 53, (9), pp. 1040 – 1044. DOI 10.16183/j.cnki.jsjtu.2019.09.004
10. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A., Lagunova M. V., Naidysh A.V. (2021). Principles of Solid Modelling in Point Calculus. Journal of Physics: Conference Series, 1901(1):012063. DOI 10.1088/1742-6596/1901/1/012063
11. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A. (2021). Solid Modeling of Geometric Objects in Point Calculus. CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the 31st International Conference on Computer Graphics and Vision (GraphiCon 2021), Vol. 3027, pp. 666 – 672. Nizhny Novgorod. DOI 10.20948/graphicon-2021-3027-666-672
12. Konopatskiy E. V., Bezditnyi A. A., Litvinov A. I. (2021). Geometric Modeling of Torse Surfaces in BN-Calculus. Journal of Physics: Conference Series, 1791(1):012050. DOI 10.1088/1742-6596/1791/1/012050
13. Konopatskiy E. V., Bezditniy A. A., Kokareva Ya. A., Kucherenko V. V. (2020). Features of visualization of geometric objects in BN-calculus. Nauchnaya vizualizatsiya, Vol. 12, (2), pp. 98 – 109. [in Russian language] DOI 10.26583/sv.12.2.08
14. Boyashova E., Voloshinov D., Musaeva T. (2021). Constructive Algorithm for Transforming Conics in a Circle on Imaginary Laguerre Points. CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the 31st International Conference on Computer Graphics and Vision (GraphiCon 2021), Vol. 3027, pp. 673 – 681. Nizhny Novgorod.
15. Cantón A., Fernández-Jambrina L., Vázquez-Gallo M. J. (2021). Curvature of Planar Aesthetic Curves. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 381. DOI 10.1016/j.cam.2020.113042
16. Kucukoglu I., Simsek B., Simsek Y. (2019). Multidimensional Bernstein Polynomials and Bezier Curves: Analysis of Machine Learning Algorithm for Facial Expression Recognition Based on Curvature. Applied Mathematics and Computation, Vol. 344 – 345, pp. 150 – 162. DOI 10.1016/j.amc.2018.10.012
17. Li X., Luk K. M., Duan B. (2019). Aperture Illumination Designs for Microwave Wireless Power Transmission with Constraints on Edge Tapers Using Bezier Curves. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 67, (2), pp. 1380 – 1385. DOI 10.1109/TAP.2018.2884850
18. Balyuba I. G., Konopatskiy E. V. (2017). Constructing contour arcs from curves of the same ratio. GraphiCon 2017: Proceedings of the 27th International Conference on Computer Graphics and Machine Vision, pp. 332 – 334. Tomsk. Perm': PGNIU. [in Russian language]

+ - Заказать электронную версию статьи (Purchase digital version of a single article) Click to collapse

Рус

Статью можно приобрести в электронном виде (PDF формат).

Стоимость статьи 500 руб. (в том числе НДС 20%). После оформления заказа, в течение нескольких дней, на указанный вами e-mail придут счет и квитанция для оплаты в банке.

После поступления денег на счет издательства, вам будет выслан электронный вариант статьи.

Для заказа скопируйте doi статьи:

10.14489/vkit.2022.06.pp.003-011

и заполните форму

Отправляя форму вы даете согласие на обработку персональных данных.

Eng

This article is available in electronic format (PDF).

The cost of a single article is 500 rubles. (including VAT 20%). After you place an order within a few days, you will receive following documents to your specified e-mail: account on payment and receipt to pay in the bank.

After depositing your payment on our bank account we send you file of the article by e-mail.

To order articles please copy the article doi:

10.14489/vkit.2022.06.pp.003-011

and fill out the form